Клюев был одним из ведущих актеров Малого театра и членом Правления Гильдии актеров кино России.
В кино артист дебютировал в 1968 году, сыграв в эпизоде фильма "Каратели".
Среди самых известных ролей Клюева - граф Рошфор в "Д’Артаньяне и трех мушкетерах", Майкрофт Холмс, брат Шерлока, в "Приключениях Шерлока Холмса и доктора Ватсона", шпион Сергей "Трианон" Дубов в "ТАСС уполномочен заявить...", Николай Петрович Воронин в ситкоме "Воронины".